Муодилаи биквадратии

\[x^4 + x^2 - 2 = 0 \qquad (1)\]

-ро ҳал менамоем.

Муодилаи (1)-ро бо ёрии ҷорӣ кардани тағйирёбандаи нав ҳал менамоем.

\(x^2\)-ро бо \(y\) ишорат менамоем:

\[x^2 = y.\]

Он гоҳ муодилаи (1) ба муодилаи квадратии дорои тағйирёбандаи \(y\) оварда мешавад:

\[y^2 + y - 2 = 0. \qquad (2)\]

Муодилаи (2)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.

Намуди умумии муодилаи квадратӣ:

\[ay^2+by+c=0.\]

Барои муодилаи (2): \(a=1, b=1, c=-2\).

Дискриминантро меёбем:

\[D=b^2-4ac=1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0.\]

Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:

\[y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}.\]

Яъне,

\(y_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -\frac{4}{2} = -2\).

\(y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Азбаски квадрати ягон адади ҳақиқӣ аз 0 хурд нест, пас муодилаи \(x^2 = -2\) ҳалли ҳақиқӣ надорад.

Аз муодилаи \(x^2 = 1\) меёбем, ки

\[x_{1,2} = \sqrt{1}  = \pm 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\]

Пас, муодилаи (1) ду реша дорад, яъне

\[x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\]

Санҷиш.

\[1. \quad (-1)^4 + (-1)^2 - 2 = 1 +1 - 2 = 0.\]

\[2. \quad 1^4 + 1^2 - 2 = 1 +1 - 2 = 0.\]